- 2024年11月26日
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1.优限法：当某些元素对位置有限制性要求时，优先满足有限制性要求的元素。
例：安排甲乙丙丁戊五个人在周一至周五值晚班，每人值班一晚，甲只能在周一晚上或周五晚上值班，共有多少安排方法?
【分析】首先我们需要思考清楚安排五个人值班是一个从集合中选取5个元素的问题，而且还是有顺序的选取元素即排列问题。安排五个人值班，其中甲这个人对值班日期有要求，我们就优先满足甲的要求。他只能在周一晚上或周五晚上值班，有两种安排方法可以满足甲的要求，其它四个人对值班日期没有要求，有种安排方法，所以在满足甲要求的情况下共有
种安排方法。
2.捆绑法：某些元素要求相邻时，将要求相邻的元素捆绑成一个元素进行安排。
例：安排甲乙丙丁戊五个人在周一至周五值晚班，每人值班一晚，甲乙值班日期一定要相邻，共有多少种安排方法?
【分析】安排甲乙值班日期一定要相邻，满足捆绑法的应用要求，可以先将甲乙捆绑成一个元素，现在还剩(甲乙)丙丁戊四个元素，没有其他任何要求了，共有种安排方法。大家在排完这四个元素后一定要注意捆绑的元素是否有顺序要求，比如甲在周一值晚班、乙在周二值晚班与甲在周二值晚班、乙在周一值晚班，是不同的安排方法，所以捆绑的元素有顺序要求，有
种安排方法，故满足甲乙一定要相邻的安排方法共有
种安排方法。
3.插空法：某些元素要求不相邻时，先安排其它元素，再将要求不相邻的元素插入排好的元素形成的空隙或两段。
例：安排甲乙丙丁戊五个人在周一至周五值晚班，每人值班一晚，甲乙两人值班日期不相邻，有多少种安排方法?
【分析】甲乙两人值班日期要求一定不相邻，满足插空法的条件。先将丙丁戊三个人安排好，共种安排方法，丙丁戊安排好后形成四个空，有顺序的选取两个空将甲乙二人插进去，共
种安排方法。所以，满足甲乙二人值班日期不相邻有
安排方法。
对于排列组合问题，今天主要介绍了优限法、捆绑法、插空法三种学习方法和技巧，大家在以后的做题过程中，能够根据题型特征熟练运用这三种方法，就能够将甲乙丙丁戊五个人值班日期安排的明明白白，排列组合问题不再难解。
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那么这类问题应该如何求解，总的原则还是利用余数相同的思想来求解，即用同余特性建立的特殊模型。
1、 余同加余：即余数相同，可用除数的最小公倍数的若干倍+余数来表示这个数。
比如：A÷3…1且A÷2…1，那么A减去1之后，即是2的倍数，也是3的倍数，可以表示为A=6n+1，(n=0,1,2,3……)。其实中国剩余定理也是用的这个思想来解题。
2、 和同加和：即除数和余数之和相等，可用除数的最小公倍数的若干倍+和来表示这个数。
比如：A÷3…2且A÷4…1，将两个数的商都减小1，则余数都会变大，即余数都为5，那么就可以写成A÷3…5且A÷4…5，即A=12n+5，(n=0,1,2,3……)。
3、 差同减差：即除数减去余数的差相同，可用除数的最小公倍数的若干倍+差来表示这个数。
比如A÷3…1且A÷4…2，将两个数的商都增大1，则余数都会变小，即余数都为(-2)，那么就可以写成A÷3…(-2)且A÷4…(-2)，即A=12n-2，(n=0,1,2,3……)。
【例题】今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何?
A、22 B、51 C、103 D、128
解析：这道题的意思是该数X÷3…2，X÷5…3且X÷7…2，通过观察可以发现，以上3个表达式中，第一个列式和第三个列式余数相同，可以利用第一个模型余同加余，即X=21n+2(n=0,1,2,3……);接下来就要考虑如何使所求数，既满足X=21n+2且X÷5…3，而这种情况既不能用和同加和，也不能用差同减差的模型，可以考虑就一个列式依次代入数值，直至满足另一个列式，这种方法就是逐步满足法：
X=21n+2，n=0时，X=2，无法满足X÷5…3;
X=21n+2，n=1时，X=23，满足X÷5…3;
所以满足最终列式的数最小值为23，X=105m+23，m=1时，X=128满足条件，选D。
数学的方法单纯靠理解是不够，还需要积累题量从而达到巩固的目的，所以各位考生想要完全掌握这种方法就需要在备考中加强练习，最终遇到相关题目才能有效解决。
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